MULŢIMI FUZZY
ŞI LOGICĂ FUZZY
MULŢIMI BOOLEENE
ŞI LOGICĂ BOOLEANĂ
REMINDER
Reuniunea (SAU)
Intersectia (SI)
SAU Exclusiv
Diferenta
Comlementara(NOT)
ÎN TEORIA MULŢIMILOR
A SAU B se notează A U B
A ŞI B se notează A ∩ B
COMPLEMENTARA LUI A se notează C
T
A sau C
U
A sau A
C
Formulele lui De Morgan
(A U B)
C
= A
C
∩ B
C
(A ∩ B)
C
= A
C
U B
C
ÎN LOGICA PROPOZIŢIILOR
A SAU B se notează A B
A ŞI B se notează A B
NOT A se notează A
Formulele lui De Morgan
(A B) A B
(A B) A B
O PROPOZIŢIE (AFIRMAŢIE) DETERMINĂ O MULŢIME
ÎN TEORIA SEMNALELOR
x
1
SAU x
2
se notează x
1
+ x
2
(poarta OR)
x
1
ŞI x
2
se notează x
1
۰ x
2
sau x
1
x
2
(poarta AND)
NEGAREA LUI x se notează
(poarta INVERSOARE)
Formulele lui De Morgan
۰
۰
TABELE DE ADEVĂR
SAU (REUNIUNE, OR, +, …)
0
1
0
0
1
1
1
1
ŞI (INTERSECŢIE, AND, *, …)
0
1
0
0
0
1
0
1
NU (COMPLEMENTARĂ, NOT, …)
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
SAU EXCLUSIV
NECESITATEA INTRODUCERII
MULŢIMILOR FUZZY
În cazul mulţimilor clasice (booleene), are loc o
trecere netă, abruptă, de la apartenenţa la
neapartenenţa unui element la mulţimea considerată,
în sensul că un element x poate să aparţină sau să
NU aparţină unei anumite mulţimi A, o altă variantă
neputând fi luată în consideraţie. Faptul că propoziţia
“x aparţine lui A” este adevărată se notează prin 1,
iar faptul că este falsă se notează prin 0.
Valorile 1 şi 0 reprezintă valoarea de adevăr a
propoziţiei respective.
(Principiul terțului exclus - Aristotel)
Valorile 1 şi 0 reprezintă valoarea de adevăr
a propoziţiei respective
În general, dându-se o propoziţie S, valoarea sa
de adevăr se notează prin t(S), cu
Fie mulţimea U, numită mulţime univers, sau mulţime totală,
şi fie A o submulţime a sa
Notăm prin A
C
complementara submulţimii A faţă de U. Atunci nu
există decât două posibilităţi :
ceea ce este coerent cu relaţiile
O submulţime şi complementara sa
în teoria clasică a mulţimilor
Logica clasică s-a conformat acestor relaţii. Astfel, încă în antichitate,
Aristotel a formulat cele trei “Legi ale gândirii” (ale logicii) :
Conform celor arătate până acum, dacă propoziţia S este adevărată,
avem t(S)=1, iar pentru opusa acestei propoziţii, notată prin not S,
avem
t(not S) = 0 = 1 - 1 = 1 – t(S)
iar dacă propoziţia S este falsă, avem t(S)=0, iar pentru opusa sa
avem
t(not S) = 1 = 1 - 0 = 1 – t(S)
adică, oricare ar fi valoarea de adevăr a unei propoziţii, avem realţia
t(not S) = 1 – t(S)
Să luăm însă un exemplu (amuzant, în aparenţă) formulat de
Bertrand Russel : Într-un oraş este un singur bărbier, pe a
cărui firmă stă scris “Bărbierul bărbiereşte pe oricine nu se
bărbiereşte singur”; se pune întrebarea “Cine-l bărbiereşte pe
bărbier?”
Fie S propoziţia “Bărbierul se bărbiereşte singur”; deci not S
este propoziţia “Bărbierul nu se bărbiereşte singur”.
Este uşor de observat că presupunerea că una dintre propoziţii
este adevărată conduce la concluzia că este adevărată opusa sa.
Deci :
adică
şi obţinem :
ceea ce ne conduce la concluzia
valoare de adevăr echidistantă faţă de adevărat şi fals,
neacceptată de logica clasică, DAR obţinută cu ajutorul
arsenalului logicii clasice
Numim aceasta “Paradoxul punctului mijlociu”
Ar trebui să admitem atunci că
Numim aceasta logică trivalentă
Ca o alternativă la logica clasică, bivalentă, s-au propus logici
multivalente, cum ar fi, de exemplu, logica trivalenta, logicile
Lukasiewicz, în care variabilele logice pot lua valori nu numai
numai în mulţimea M
2
={0,1}, ci într-o mulţime M
n
, unde
unde n>2, cu p valori de fals, q valori de nesiguranţă
(incertitudine, îndoială, posibilitate) şi cu n-(p+q) valori de
adevăr
Într-o logică trivalentă, de exemplu, o propoziţie nu mai este
evaluată simplu ca “adevărată” sau “falsă”, ci “adevărată în
raport cu …”, deci în raport cu un alt fapt
Logica fuzzy poate fi considerată ca un caz extins de logică
multivalentă, în care variabilele logice pot lua orice valoare reală
în intervalul [0, 1].
În cazul mulţimilor fuzzy, nu mai are loc tranziţia netă de la
apartenenţă la neapartenenţă, ci există grade de apartenenţă
intermediare, care sunt definite de o funcţie de apartenenţă în
intervalul [0,1]; aceste grade de apartenenţă intermediare
reflectă posibilitatea sau incertitudinea aferentă adevărului unei
propoziţii. Acestă trecere gradată de la “adevărat” la “fals” este
reflectată de trecerea gradată de la submulţimea A la A
C
O mulţime şi complementara sa în cazul mulţimilor fuzzy
Este acum foarte greu de spus dacă un element x aparţine lui A
sau lui A
C
.
Rezultatul , aberant în cazul abordării clasice a
teoriei mulţimilor, se poate acum simplu exprima : este “posibil”
ca propoziţia S (“Bărbierul se bărbiereşte singur”) să fie
adevărată, dar este la fel de posibil să fie şi falsă. Cazul
este un caz particular important, reflectând, aşa cum vom
vedea ulterior, aşa-numitul punct de traversare.
Logica fuzzy se constituie deci într-o modalitate de a descrie
incertitudinea, fiind o alternativă la descrierea probabilistică
Există, într-adevăr câteva similitudini între “probabilitate” şi
“vaguitate” :
- ambele descriu gradul de incertitudine prin valori reale din
intervalul [0,1]
- în ambele abordări, combinarea mulţimilor şi a propoziţiilor
se face în mod asociativ, comutativ şi distributiv
Există însă şi deosebiri, deosebirea esenţială dintre caracterul
fuzzy şi caracterul aleator (probabilistic), constând în modul în
care sistemele vagi (fuzzy) şi sistemele aleatoare tratează o
submulţime A şi complementara sa (“opusa”).
În logica booleeană, dacă xA, atunci xA
C
, ceea ce înseamnă că
A∩A
C
=
Teoria probabilităţii s-a conformat acestui principiu :
P(A∩A
C
)=P()=0
deoarece, din punct de vedere probabilistic,
A∩A
C
este un eveniment imposibil
Vaguitatea (caracterul fuzzy) începe când se consideră că
A∩A
C
≠
Vaguitatea şi sistemele fuzzy descriu incertitudinea prin
intermediul ambiguităţii caracterului unui eveniment, măsurând
NU dacă un eveniment apare sau nu, ci posibilitatea de apariţie
(folosim deci termenul de “posibil” în loc de “probabil”,
caracteristic teoriei probabilităţilor)
Vaguitatea este, deci, un tip de incertitudine deterministă
Fie exemplul unei figuri distorsionate, care “pare” să fie o elipsă.
Din punctul de vedere al logicii fuzzy, răspunsul corect la
întrebarea “Ce figură geometrică este aceasta?” este :
“Este POSIBIL să fie o elipsă” (NU „PROBABIL”)
Elipsă fuzzy
În practică, cele două caractere (caracterul aleator, descris de
teoria probabilităţii, şi care conduce la o siateme aleatoare, şi
caracterul fuzzy, descris de o “teorie a posibilităţii”, adică de
teoria mulţimilor fuzzy, şi care conduce la sisteme fuzzy), se
combină adeseori.
Caracteristica de bază a mulţimilor fuzzy este trecerea gradată
de la A la A
C
, ceea ce conduce la faptul că vom avea :
A∩A
C
≠
AA
C
≠U
Principalele motive care au condus la necesitatea introducerii
teoriei mulţimilor fuzzy şi a logicii fuzzy sunt :
- În ultimii ani, complexitatea sistemelor şi a fenomenelor a
crescut considerabil, scăzând posibilitatea de descriere prin
relaţii precise a acestor sisteme şi fenomene (nu se pot elabora
relaţii precise şi totodată relevante, semnificative, de la un
anumit grad de complexiatate precizia şi semnificaţia
excluzându-se reciproc);
- Gândirea umană foloseşte cu succes, pe lângă logica bivalentă,
o logică de tip vag, având capacitatea de a rezuma, concentra
informaţiile, caracterizându-le prin intermediul unor
aproximări care extrag din ansamblul datelor pe cele
importante pentru adoptarea unei decizii (sau concluzii) corecte.
Abordarea care permite vaguitatea (caracterul fuzzy), deci un
anumit grad de imprecizie şi adevăruri parţiale, se
caracterizează prin folosirea unor variabile lingvistice
(exprimate prin limbaj natural), un rol major având înţelesul
acestor variabile şi prin caracterizarea relaţiilor simple dintre
aceste variabile cu ajutorul propoziţiilor condiţionale de tipul
IF-THEN-ELSE şi prin caracterizarea relaţiilor complexe cu
ajutorul algoritmilor fuzzy
De fapt, latura formală a unui raţionament (aferentă logicii
booleene) şi latura semantică sunt reunite prin
valoarea de adevăr
MODELAREA MATEMATICĂ
A MULŢIMILOR FUZZY
Proprietatea creierului uman de a rezuma informaţiile prin
aproximări care extrag elementele semnificative – pentru
efectuarea unei activităţi – se manifestă, în special prin folosirea
limbajului natural. Într-un asemenea limbaj, L, un anumit
cuvânt poate fi considerat ca descrierea rezumată a unei
submulţimi fuzzy A(x) din cadrul unei mulţimi totale T
(mulţimea totală, sau mulţimea univers), submulţimea A(x)
reprezentând înţelesul, semnificaţia, cuvântului respectiv. În
acest sens, substantivul “greutate” poate fi considerat ca o
variabilă ale cărei valori “mare”, “mijlocie”, “mică”, “enormă”,
“infimă”, etc, pot fi interpretate ca etichete (denumiri) ale unor
submulţimi fuzzy din mulţimea totală aferentă greutăţilor unor
produse, variabila “greutate” fiind, în acest caz, “variabila
fuzzy”. Se remarcă faptul că orice valoare exprimată în limbaj
natural prin eticheta unei submulţimi fuzzy este mult mai puţin
precisă decât valoarea numerică a greutăţii produsului respectiv,
obţinută prin mijloace tehnice de măsurare
Principala caracterizare a elementelor unei mulţimi fuzzy este
reprezentată de funcţia de apartenenţă a elementului,
exprimând gradul de apartenenţă la mulţimea respective sau,
altfel spus, gradul de certitudine al propoziţiei care a generat
multimea
Astfel, o submulţime fuzzy A din mulţimea totală T este
caracterizată de funcţia de apartenenţă, notată μ
A
(x), care
asociază fiecărui element x din T un număr μ
A
(x)
din intervalul [0, 1]
μ
A
(x)
Prin suportul unei submulţimi fuzzy A, notat S
A
înţelegem
totalitatea elementelor x din T, pentru care are loc condiţia
Să remarcăm că suportul S
A
, al submulţimii A NU
este o submulţime fuzzy, ci o submulţime în sensul
clasic a mulţimii totale T
Exemplul 1 :
Să considerăm mulţimea totală
şi A(x) submulţimea fuzzy determinată de eticheta “mic”
(deci A(x) este totalitatea elementelor mici din T)
A nu se confunda cu mulţimea CONTINUĂ
Va trebui să vedem “cât de mic” este fiecare dintre
elementele lui T, pentru a putea spune care este gradul de
apartenenţă al fiecărui element la submulţimea A(x)
Acest lucru este la aprecierea noastră, rezultând un anume
grad de subiectivism
Pe de altă parte, acesta conduce la creşterea rolului
decidentului uman (“expertul”)
Să presupunem că am considerat că aceste grade de
apartenenţa sunt :
μ
A
(1) = 1 (considerăm că in mulţimea {1, 2, ..., 15} elementul 1
este sigur mic – fiind cel mai mic - deci ii acordăm gradul de
apartenenţă 1 - cel mai mare posibil =, la mulţimea numerelor
mici din T), μ
A
(2) = 0.8, μ
A
(3) = 0.6, μ
A
(4) = 0.4, μ
A
(5 ) = 0.2,
μ
A
(6 )= μ
A
(7)
= ...,
μ
A
(15) = 0, (considerand că numerele 6, 7, ..., 15
nu mai pot fi considerate mici)
Vom nota acest lucru:
într-o reprezentare care ne arată atât elementul
submulţimii A (dedesubt), cât şi gradul de apartenenţă al
fiecărui element la această submulţime (deasupra). Subliniem că
este vorba de o notaţie specifică, deci, în nici un caz NU
trebuie interpretat ca având de-a face cu fracţii !
N-am mai reprezentat elementele de la 6 până la 15, pentru care
gradul de apartenenţă este 0 (deci care sigur NU fac parte din
submulţimea A(x) a numerelor mici din T).
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Gradele de apartenenţă
pentru submulţimea fuzzy
"x este mic"
definită pe mulţimea DISCRETĂ
{1, 2, 3, ... , 14, 15}
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Gradele de apartenenţă
pentru submulţimea fuzzy
"x este mic"
definită pe mulţimea CONTINUĂ
[1, 15]
Suportul S
A
al mulţimii A este mulţimea elementelor din T care
satisfac relaţia
, deci vom avea :
şi, în mod evident,
deci A(x) este o submulţime fuzzy a lui T (despre elementele
sale putem spune că au un anumit grad de aprteneţă la A(x) ),
iar S este o submulţime booleeană a lui T
În mod analog am putea defini submulţimea B(x) a numerelor
“mijlocii” din T :
pentru care obţinem suportul:
respectiv submulţimea C(x) a elementelor “mari” din T
:
cu suportul
Câteva valori particulare ale gradului de apartenenţă au
semnificaţii aparte:
- valoarea 0 indică certitudinea neapartenenţei la submulţimea
respectivă; este clar că oricâte elemente pot avea gradul de
apartenenţă 0 (ele nici nu se mai trec, ca şi în cazul mulţimilor
booleene); dacă toate elementele unei submulţimi au gradul de
apartenenţă 0 la o submulţime, avem de-a face cu mulţimea
vidă;
- valoarea 1 indică certitudinea apartenenţei la submulţimea
respectivă; deasemenea, oricăte elemente pot avea gradul de
aparteneţă 1 la submulţimea respectivă; dacă toate elementele
unei submulţimi au gradul de aparteneţă 1, avem de a face cu o
submulţime în sensul clasic (este important faptul că mulţimile
booleene se regăsesc deci ca un caz particular al mulţimilor
vagi); elementul care are gradul de aparteneţă 1 poartă numele
de punct de vaguitate minimă;
- valoarea 1/2 este un caz special : pentru un element care are
un grad de aparteneţă μ<1/2 la o submulţime se poate spune
că “mai curând nu aparţine” acelei submulţimi, iar în cazul
μ>1/2 că “mai curând aparţine” submulţimii; în cazul μ=1/2
este clar că este la fel de posibil ca elementul să aparţină sau
să nu aparţină submulţimii; un astfel de element se numeşte
punct de traversare al submulţimii.
Dacă o submulţime fuzzy are ca suport un singur element x din
T, atunci această submulţime este denumită unicat vag (fuzzy
singleton)
În exemple de submulţimi fuzzy prezentate, mulţimile A(x), B(x),
C(x) erau submulţimi fuzzy ale unei mulţimi totale T (care NU
era fuzzy)
Am văzut însă că putem considera mulţimile booleene ca un caz
particular de mulţimi fuzzy, toate elementele având gradul de
apartenenţă 1. Ca urmare, toate elemetele submulţimii fuzzy s-
au caracterizat prin faptul că gradele de aparteneţă la
submulţimea fuzzy respectivă era mai mic (cel mult egal) decât
gardul de aparteneţă la mulţimea totală (la mulţimea în care
submulţimea era inclusă).
În acest fel se poate defini şi incluziunea unei submulţimi fuzzy
G(x) la o mulţime fuzzy H(x) : G(x) este o submulţime fuzzy a
mulţimii fuzzy H(x) dacă şi numai dacă gradul de apartenenţă
al oricărui element din G(x) este mai mic sau egal cu gradul de
apartenenţă al respectivului element la mulţimea H(x)
Se regăsesc astfel, ca un caz particular, toate cele definite până acum
Acest lucru poate fi arătat şi intuitiv : am definit submulţimea
C(x) a numerelor “mari” din T
Să definim încă o submulţime, D(x) a numerelor “foarte mari”
din T. Evident, orice număr este mai curând “mare” decât
“foarte mare”
Am putea avea, de exemplu :
Avem, deci
În toate exemplele de până acum, suportul mulţimilor fuzzy
considerate a fost o mulţime discretă, dar, în cazul general,
suportul unei mulţimi fuzzy poate fi o mulţime continuă
Este suficient ca în locul primelor 15 numere naturale să luăm
intervalul [1, 15] de pe dreapta reală
În cazul unui suport continuu şi functia de apartenenţă este,
evident, continuă şi deci poate fi reprezentată grafic
Fie A(x), B(x), C(x) mulţimile numerelor “mici”, “mijlocii”,
respectiv “mari” din T(x).
Reprezentările grafice sunt date în figura următoare:
Trei submulţimi vagi cu suport continuu
Totuşi, cum mai putem acorda gradul de apartenenţă
unui element oarecare, având, de data aceasta, un număr
infinit de elemente ?
În literatura de specialitate s-au conturat, în principal,
două direcţii :
- aproximarea neliniară
- aproximarea liniară
În cazul neliniar, s-a propus, printre altele, relaţia simetrică
cu “+” în dreapta punctului de vaguitate minimă şi “-“ în stânga sa
Relaţia prezintă avantajul că permite impunerea uşoară a punctului
de vaguitate minimă (x
m
) şi a punctelor de traversare (x
t
)
Astfel, dacă dorim ca punctul de vaguitate minimă să aibă valoarea
dorită x
m
, este suficient să punem
obţinând
Atunci, în punctul x = x
m
vom avea gradul de apartenenţă
Cu valoarea c odată impusă, putem acum să alegem valoarea
dorită x
t
pentru punctele de traversare (puncte pentru care
trebuie să avem gradul de apartenenţă 0.5); trebuie deci să avem
(pentru partea dreaptă); rezultă că este necesar ca
adică
un punct de traversare fiind deci la
sau, în general, (dacă nu am impus încă valoarea lui c)
Avem, bineînţeles, două puncte de traversare; fie ele x
t1
şi x
t2
Odată ales unul dintre ele, celălalt rezultă de la sine
O altă alegere pentru punctele de traversare conduce la
“diluarea” (depărtarea punctelor de traversare) sau la
“concentrarea” (apropierea punctelor de traversare) curbei
Rolul parametrului a
Diluare şi concentrare
Rolul parametrului b:
Să considerăm două puncte x
1
şi x
2
în jurul valorii x
t
=c+1/a
şi anume
avem
Relaţiile arată rolul parametrului b: observăm ca dacă am
impus valorile x
t
şi x
m
, avem o infinitate de curbe care trec prin
punctele (x
m
, 1) şi (x
t
, 1/2), în funcţie tocmai de valoarea
parametrului b (figura de mai jos)
Dacă alegem b = b
1
, obţinem curba reprezentată continuu
Pentru o valoare b = b
2
> b
1
, valorile funcţiei de apartenenţă
cresc între punctele de traversare, faţa de valorile
corespunzătoare cazului b = b
1
, obţinând curba reprezentată
punctat.
Cu alte cuvinte, creşte contrastul dintre punctele din interiorul
punctelor de traversare faţă de punctele situate în afara
punctelor de traversare
Din acest motiv, parametrul b poartă denumirea de
“parametru de contrast” sau “parametru pentru intensificarea
contrastului”
Operaţia inversă creşterii contrastului se numeşte “diminuarea
contrastului
Dacă alegem b = b
1
, obţinem curba reprezentată continuu.
Pentru o valoare b = b
2
> b
1
, se vede că valorile funcţiei de
apartenenţă cresc între punctele de traversare, faţa de valorile
corespunzătoare cazului b=b
1
, obţinând curba reprezentată
punctat.
Rolul parametrului b
Intensificarea contrastului
Intensificarea sau diminuarea a contrastului va interveni
ulterior, în legătură cu operaţiile care se pot defini pe
mulţimile fuzzy
Este de remarcat faptul că este o mare deosebire între
operaţiile de diluare şi concentrare (la care este afectată
poziţia punctelor de traversare) şi operaţiile de intensificare
sau diminuare a contrastului (care se referă la curbe care
trec prin aceleaşi puncte de traversare)
În cazul liniar
A doua direcţie de stabilire a curbei unei funcţii de
apartenenţă foloseşte o aproximare liniară. În acest caz nu se
mai acceptă decât două variante opuse de propoziţii care
definesc submulţimile (de exemplu, nu vom mai avea decât
etichetele “mic” şi “mare”; nu se mai pot accepta etichete de
tipul “mijlociu”, “mare, dar nu foarte mare”, etc.)
Pentru aproximaţia liniară avem nevoie de două puncte prin
care trece dreapta; acestea sunt :
- abscisa de vaguitate minimă (μ(x) = 1)
- limita suportului (μ(x) = 0)
Funcţii liniare de apartenenţă
În cazul submulţimilor fuzzy cu suport continuu, funcţia
continuă de apartenenţă poate fi discretizată şi, în acest fel, în
locul reprezentării grafice a curbelor, se folosesc tabele în care
intervin valorile x selectate, prin discretizarea suportului şi
valorile μ(x) corespunzătoare
În unele situaţii, chiar gradul de apartenenţă la o submulţime
fuzzy este, el însuşi, o submulţime vagă
Astfel, considerând o mulţime totală T
1
de materiale şi
submulţimea fuzzy etichetată prin “fragil”, cu elementele
x
1
, x
2
, …, x
n
(acestea fiind diferite produse), prezentarea
submulţimii fuzzy “fragil” poate avea aspectul :
"fragil"
în care gradele de aparteneţă, exprimate prin indicii de
fragilitate (“redus”, “mediu”, “ridicat”, etc.) sunt
submulţimi ale unei alte mulţimi totale T
2
, cuprinzând gama
posibilă a indicilor de fragilitate pentru produsele x
1
, x
2
, …x
n
OPERAŢII PE MULŢIMI FUZZY
REUNIUNEA
În cazul booleean, reuniunea a două mulţimi, A şi B este
definită ca fiind mulţimea elementelor care aparţin cel putin
uneia dintre cele două mulţimi
şi submulţimile
Reuniunea a două mulţimi booleene F şi G este definită ca
fiind mulţimea elementelor care aparţin cel puţin uneia dintre
cele două mulţimi (SAU nedisjunctiv)
Vom avea, atunci
După cum am văzut anterior, putem privi mulţimile
booleene ca fiind un caz particular de mulţimi vagi,
pentru care toate elementele au gradul de apartenenţă 1
Această relaţie va rămâne valabilă şi în cazul mulţimilor fuzyy
Într-adevăr, în cazul mulţimilor fuzzy, gradul de apartenentă al
unui element la o mulţime fuzzy reprezintă “posibilitatea” ca
elementul să aparţină mulţimii fuzzy respective (sau “gradul de
adevăr” pe care îl are propoziţia fuzzy care generează
submulţimea fuzzy respectivă)
Fie atunci două submulţimi fuzzy A(x) şi B(x)
Ce grad de apartenenţă are un element oarecare la reuniunea
AB (ce grad de adevăr are propoziţia conjunctivă A SAU B ? –
de exemplu, dacă A este propoziţia “x este mic” şi B propoziţia “x
este mijlociu”, ce grad de adevăr are propoziţia “x este mic sau
mijlociu” ?)
În acest exemplu, să presupunem că μ
A
(x) = 0.8 (deci am
acordat 0.8 posibilităţii ca xA(x), adică posibilităţii ca x să fie
considerat mic) şi μ
A
(x) = 0.4 (deci am acordat 0.4 posibilităţii
ca xB(x), adică posibilităţii ca x să fie considerat mijlociu)
Cât pot fi de “sigur” că elementul x aparţine cel puţin
uneia dintre cele două submulţimi ? Evident, 0.8 !
Deci, pentru operaţia de reuniune, în cazul mulţimilor fuzzy,
vom avea relaţia :
Pentru exemplifivare, să reluăm mulţimea totală T şi
submulţimile fuzzy A(x), B(x) şi C(x) definite anterior :
Atunci vom avea :
iar pentru suporturile lor :
de unde se constată că
adică reuniunea suporturilor este egală cu suportul reuniunii
Desigur, relaţia de definiţie a reuniunii rămâne valabilă şi
pentru cazul continuu
În Figura de mai jos, sunt considerate mulţimile A(x) (“x
este mic”), B(x) (“x este mijlociu”) şi C(x) (“x este mare”) şi
sunt reprezentate mulţimile A(x)B(x) (“x este mic sau
mijlociu”), B(x) C(x) (“x este mijlociu sau mare”) şi
A(x) C(x) (“x este mic sau mare”) :
INTERSECŢIA
În cazul mulţimilor booleene, intersecţia a două mulţimi F şi G este
definită ca fiind mulţimea elementelor comune celor două mulţimi :
Pentru exemplul considerat, vom avea :
Consideraţii similare celor expuse în subcapitolul anterior,
ne conduc la tabelul:
xA xB xR=AB
μ
A
(x) μ
B
(x) μ
I
(x)=μ
AB
(x)
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
şi se observă că, pentru mulţimile booleene, vom avea mereu
Şi această relaţie rămâne valabilă şi în cazul mulţimilor
fuzzy
Reluând exemplul din subcapitolul anterior (μ
A
(x)=0.8,
μ
B
(x)=0.4), se pune întrebarea : cât de siguri putem fi că
elemetul x aparţine Intersecţiei ? Este adevăratr că am
acordat un grad destul de mare (0.8) posibilităţii ca x să
aparţină mulţimii A, dar avem doar 0.4 certitudinea ca el să
aparţină lui B. Este clar că posibilitatea ca el să aparţină
ambelor mulţimi nu este mai mare de 0.4
Deci, relaţia de definiţie pentru funcţia de apartenenţă
a reuniunii a două mulţimi fuzzy este :
Obţinem:
iar pentru suporturi :
Constatăm că
adică suportul intersecţiei a două mulţimi fuzzy este egal
cu intersecţia suporturilor mulţimilor fuzzy
Pentru cazul continuu, se pot urmări intersecţiile în Figura
de mai jos
COMPLEMENTAREA
Diferenţele majore între mulţimile booleene şi mulţimile fuzzy
intervin din momentul lucrului cu complementara
În cazul mulţimilor booleene, complementara unei submulţimi
A faţă de mulţimea totală T este definită ca fiind mulţimea
elementelor lui T care NU aparţin lui A :
Pentru cazul dat, vom avea :
şi, (ceea ce ştiam deja) :
ceea ce conduce la tabelul următor:
xA
xR=
μ
A
(x)
0 1
1 0
în care avem mereu
Aceasta va fi definiţia funcţiei de apartenenţă pentru
complementară şi în cazul mulţimilor fuzzy, din motive evidente
(dacă am considerat că posibilitatea ca un element să aparţină
unei mulţimi este 0.8, înseamnă că am considerat că
posibilitatea ca el să NU aparţină mulţimii respective este de
0.2, deci 0.2 este posibilitatea ca el să aparţină complementarei).
Elementul 1 nu aparţine complementarei, căci
,
deci, conform definiţiei (80),
Elementele de la 6 până la 15 nu aparţin mulţimii A(x),
deci au gradul de aparteneţă 0 la A(x) şi vor avea gradul de
aparteneţă 1-0=1 la complementara lui A(x) (deci aparţin sigur
lui A
C
(x) )
Aceleaşi considerente conduc la
(unde observăm că elementul 8 nu aparţine complementarei lui
B(x), căci are gradul de aparteneţă 1 la B(x);
, şi analog :
unde elemetul 15 nu aparţine lui C
C
(x)
Cele trei submulţimi au, respectiv, suporturile:
Să remarcăm, însă, că am avut :
putem calcula complementarele suporturilor
adică suportul complementarei NU este egal cu
complementara suportului
Acest rezultat ne sugerează deja că mulţimile fuzzy NU
tratează complementara în acelasi mod ca mulţimile booleene
Să adâncim puţin studiul acestei diferenţe
Reluând exemplele de mulţimi booleene de mai sus, vom avea:
adică, pentru orice mulţime booleeană F,
rezultate cunoscute din teoria clasică a mulţimilor (rezultate
din chiar definiţia complementarei în cazul mulţimilor
booleene)
Care este situaţia în cazul mulţimilor fuzzy ?
Să reluăm exemplele concrete de mulţimi fuzzy cu care am
lucrat până acum; aplicând relaţia de definiţie a gradului de
aparteneţă la reuniune, obţinem :
deoarece T este o mulţime booleeană, deci ar trebui să avem
gradul tuturor elementelor egal cu 1, ceea ce NU este cazul
pentru elementele 2, 3, 4 şi 5
deci, în general,
ceea ce reprezintă diferenţele majore între mulţimile fuzzy şi
mulţimile booleene
Fie A(x) submulţimea fuzzy generată de propoziţia “x este mic”. Atunci,
A
C
(x) corespunde propoziţiei “x NU este mic”. Fie
(gradul
de adevăr al propoziţiei “3 este mic” este 0.6); rezultă atunci că
Atunci propoziţia <<”x este mic” SAU “x nu este mic”>> nu epuizează
toate posibilităţile, căci, pentru elementul 3, de exemplu, avem
, adică nu este sigur că <<”x este mic” SAU “x nu
este mic”>> (într-o exprimare “mai liberă”, nu este sigur că “x ori este
mic, ori nu este mic”)
De asemenea, <<”x este mic” ŞI “x nu este mic”>> nu este absurdă, căci
din
şi
rezultă
(deci, în
limbaj de zi cu zi, nu este exclusă posibilitatea “x este mic ŞI – totodată
- nu este mic”). Vom reveni asupra acestui fapt în subcapitolul dedicat
relaţiilor condiţionale fuzzy.
În Figurile de mai jos sunt reluate cele expuse până în prezent pentru cazul
unor mulţimi fuzzy cu suport continuu (pentru care toate cele expuse rămân
valabile).
SFAT:
Reprezentaţi toate submulţimile fuzzy
cu support discret
cu TOATE componentele lor
(inclusiv elementele care au gradul de apartenenţă zero)
deci nu numai pe suporturile lor
Evitati astfel erorile
OPERAŢII MATEMATICE
PE MULŢILILE FUZZY
PRODUSUL DINTRE O SUBMULŢIME FUZZY
ŞI UN NUMĂR REAL POZITIV
Fie submulţimea fuzzy
şi un număr real pozitiv β
prin definiţie
Singura restricţie impusă lui β (în afara celei din definiţie) este ca, prin
înmulţire cu oricare dintre gradele de apartenenţă la submulţimea A(x),
SĂ NU REZULTE UN NUMAR SUPRAUNITAR
Trebuie să avem, deci :
Acest lucru înseamnă că β poate fi, evident, subunitar, dar
poate fi şi supraunitar , dacă gradele de aparteneţă la
submulţimea fuzzy A(x) permit acest lucru
Fie, de exemplu :
Atunci, pentru β=3 vom avea :
PRODUSUL A DOUĂ SUBMULTIMI FUZZY
Fie submulţimile fuzzy
Prin definiţie :
SFAT: Reprezentaţi toate submulţimile fuzzy cu support discret
cu TOATE componentele lor
Este evident că mulţimile fuzzy A(x) şi B(x) trebuie să fie
submulţimi fuzzy ale aceleiaşi mulţimi totale T
Nu este însă obligatoriu ca ele să aibă acelaşi suport;
pentru un element x
i
care aparţine lui A(x) şi nu aparţine lui
B(x), vom avea, evident
(şi în mod analog pentru un element x
j
care aparţine lui B(x)
şi nu aparţine lui A(x) )
Exemplu :
Operaţia de produs a două submulţimi fuzzy serveşte,
de fapt, pentru a introduce operaţia de ridicare la putere
a unei submulţimi fuzzy
SFAT:
Reprezentaţi toate submulţimile fuzzy
cu support discret
cu TOATE componentele lor
(inclusiv elementele care au gradul de apartenenţă zero)
deci nu numai pe suporturile lor
Evitati astfel erorile
RIDICAREA LA PUTERE A UNEI SUBMULŢIMI FUZZY
Pentru α supraunitar, valorile tuturor gradelor de apartenenţă, cu excepţia
celor egale cu 1, descresc. Aceasta înseamnă, deci, că ridicarea la o putere
supraunitară păstrează punctul de vaguitate minimă (
),
dar micşorează valorile tuturor celorlalte grade de apartenenţă
(vezi Figura)
x
t
x
t
x
m
A(x)
[A(x)]
α
, α > 1
X
μ
1
0,5
Ridicarea la o putere supraunitară
a unei submulţimi fuzzy (concentrare)
Se vede atunci că punctele de traversare se apropie
Ne aducem însă aminte că păstrarea punctului de vaguitate minimă şi
apropierea punctelor de traversare corespund unei operaţii de concentrare
Pentru α subunitar, valorile tuturor gradelor de apartenenţă, cu excepţia
celor egale cu 1, cresc. Acesta înseamnă, deci, că ridicarea la o putere
subunitară păstrează punctul de vaguitate minimă (
),
dar măreşte valorile tuturor celorlalte grade de apartenenţă
(vezi Figura)
x
t
x
t
x
m
A(x)
[A(x)]
α
, α < 1
X
μ
1
0,5
Ridicarea la o putere subunitară
a unei submulţimi fuzzy (diluare)
Se vede atunci că punctele de traversare se depărtează
Ne amintim că păstrarea punctului de vaguitate minimă şi depărtarea
punctelor de traversare corespund unei operaţii de diluare
Concentrarea şi diluarea pot fi obţinute prin adăugarea unor “precizări”
(în literatura de specialitate în limba engleză se foloseşte termenul “hedges”)
cum ar fi :
- pentru concentrare “foarte…”, “extrem de …”. etc;
- pentru diluare “relativ…”, “oarecum …”, “mai mult sau mai puţin …”, etc;
De exemplu, pentru o submulţime fuzzy determinată de propoziţia fuzzy
“x este mare”, se obţin noi submulţimi fuzzy ca “x este foarte mare” (concentrare)
sau “x este relativ mare” (diluare)
X
μ
1
0,5
A(x) – “x este mare”“x este relativ mare”
(diluaare)
“x este foarte mare”
(concentrare)
Diluarea şi concentrarea cu ajutorul pragurilor
În lipsa altor precizări, considerăm pentru operaţia de
concentrare α=2 şi pentru operaţia de diluare α=0.5 (radical)
Atunci putem rezuma astfel :
SFAT:
Reprezentaţi toate submulţimile fuzzy
cu support discret
cu TOATE componentele lor
(inclusiv elementele care au gradul de apartenenţă zero)
deci nu numai pe suporturile lor
Evitati astfel erorile
PRODUSUL CARTEZIAN A DOUĂ SUBMULŢIMI FUZZY
Să ne reamintim produsul cartezian a două mulţimi booleene :
dându-se două mulţimi A şi B, produsul cartezian A B este,
prin definiţie, mulţimea perechilor ordonate care se pot forma
luând ca prim element al perechii un element al mulţimii A şi
ca al doilea element al perechii un element din mulţimea B
Exemplu : fie
atunci
Trebuie să facem câteva observaţii :
- termenul de “ordonat” din definiţia produsului cartezian se referă la
ordinea elementelor unei perechi (în sensul că întotdeauna primul
element al unei perechi trebuie să fie un element al mulţimii A, iar cel
de-al doilea element al perechii trebuie să fie un elemnt din mulţimea
B) şi NU la ordinea perechilor în mulţimea A B (perechile ca atare,
fiind elementele mulţimii produs cartezian A B, ca la orice
mulţime, ordinea elementelor în mulţime nu are nici o importanţă);
- nu este obligatoriu ca A şi B să fie submulţimi ale aceleeaşi mulţimi
totale (de exemplu, A poate fi mulţimea studenţilor dintr-o grupă, iar
B mulţimea notelor la un examen); cu atât mai mult, mulţimea
rezultată A B nu va mai fi o submulţime a unei aceleaşi mulţimi
totale;
Observăm că, pentru ca perechea (x,y) să fie un element
al produsului cartezian (să aibă gradul de apartenenţă 1 la
produsul cartezian) este necesar ca x să fie un element al
mulţimii A (să aibă gradul de aparteneţă 1 la mulţimea A) ŞI
y să fie un element al mulţimii B (să aibă gradul de
aparteneţa 1 la mulţimea B), ceea ce este rezumat în tabelul:
xA yB (x,y) A B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
ceea ce înseamnă că
Este uşor de văzut că şi în cazul mulţimilor fuzzy trebuie să avem
tot o astfel de relaţie (raţionamentul este perfect analog ca cel
descris la operaţia ŞI )
Relaţia de definiţie a funcţiei de apartenenţă pentru
produsul cartezian a două submulţimi fuzzy A(x) şi B(x) este deci :
Subliniem încă odată că NU este necesar ca cele două
submulţimi fuzzy A(x) şi B(y) să fie submulţimi ale aceleeaşi
mulţimi totale (ceea ce este pus în evidenţa şi de notarea separată
a variabileleor –> x şi y).
Fie următorul exemplu:
B(y)
A(x)
negruroşu
1
2
3
0,8 0,3
0,7
0,5
0,1
unde am aşezat elementele primei mulţimi pe axa verticală, de sus în jos, şi
elementele celei de-a doua pe axa orizontală de la stânga la dreapta (subliniem că
vom păstra de acum înainte această ordine, din motive care vor rezulta ulterior).
În dreptul fiecărui element am trecut şi gradul său de apartenenţă la
mulţimea căreia îi aparţine.
Este evident că se pot crea atâtea perechi ordonate câte rezultă din figură
(în cazul din exemplul nostru – şase).
Respectând relaţia, vom trece în locul punctelor de intersecţie valorile
funcţiei de aparteneţă, rezultând figura:
Putem acum să reprezentăm produsul cartezian al mulţimilor
A(x) şi B(y) sub forma matricii :
Aceasta este forma pe care o vom folosi de aici înainte
RELAŢII CONDIŢIONALE FUZZY
Relaţiile simple dintre variabilele lingvistice pot fi caracterizate prin propoziţii
condiţionale fuzzy de tipul DACĂ-ATUNCI (IF-THEN) sau DACĂ-ATUNCI-ALTFEL
(IF-THEN-ELSE)
De exemplu, considerând variabilele lingvistice x şi y, putem avea o relaţie de
tipul
DACĂ x este relativ mic ATUNCI y este foarte mare
În timp ce, în cazul calculului propoziţional clasic, o expresie de tipul
DACĂ J ATUNCI K
reprezintă o implicaţie
definită de identitatea
corespunzătoare tabelului de adevăr
J K J => K
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
în cazul propoziţiei condiţionale fuzzy
DACĂ x este mic ATUNCI y este mare
(unde x şi y sunt variabile fuzzy, iar “mic” şi “mare” sunt etichete ale
submulţimilor fuzzy care reprezintă valorile variabilelor fuzzy x şi y, submulţimi
care pot fi notate prin A(x) şi B(y)
Se constată că aceasta descrie o relaţie fuzzy între două variabile fuzzy şi, deci,
poate fi definită ca o “relaţie fuzzy”
DACĂ A(x) ATUNCI B(y)
O relaţie fuzzy mai complexă este
DACĂ A(x) ATUNCI B(y) ALTFEL C(y)
RELATIA FUZZY IF-THEN
Implicaţia (respectiv propoziţia condiţională fuzzy) de tipul
DACĂ A(x) ATUNCI B(y)
constituie baza procesului lantului) inferenţial
efectuat prin intermediul submulţimilor fuzzy
Să luăm exemplul unui ansamblu de rezistenţe conectate în
serie, şi care pot fi şuntate prin închiderea unor contacte
100 KΩ 100 KΩ100 KΩ100 KΩ100 KΩ100 KΩ
100 KΩ
Ansamblu de rezistenţe conectate în serie
În funcţie de starea contactelor, rezistenţa ansamblului
va fi dată de tabelul:
Nr.contacte
deschise
Rezistenţă
ansamblu
0 100
1 200
2 300
3 400
4 500
5 600
6 700
Putem formula relaţia condiţională fuzzy
DACĂ numărul de contacte deschise mare
ATUNCI rezistenţa ansamblului este mare
deci, de forma generală
DACĂ A(x) ATUNCI B(y)
unde submulţimile fuzzy A(x) şi B(y) ar putea fi
Reprezentând grafic acest lucru, obţinem Figura:
Întrucât implicaţia lingvistică afirmă că fiecărui element x din
A(x) îi corespunde orice element y din B(y), pentru fiecare
corespondenţă fiind obţinut un element r din R(x,y), rezultă că
elementul r se obţine prin prezenţa a două elemente xA(x) şi
yB(y), prezenţa simultană corespunzând unei operaţii logice ŞI
Cum, în cazul acesta, rezultă o relaţie de tipul
observăm că avem de a face cu un produs cartezian
Din motive care ţin de necesitatea de a avea aceleaşi
dimensiuni de matrice la efectuarea unui lanţ de
inferenţe, vom lua în considerare în matricea
produsului cartezian toate elementele, inclusiv cele
pentru care valorile funcţiilor de apartenenţă sunt zero
Obţinem, atunci :
Vom numi pe M “matricea de apreciere” a relaţiei condiţionale fuzzy
Evident, dacă procesul inferenţial se opreşte aici, putem utiliza matricea M’,
din colţul dreapta jos a matricei de apreciere:
Vom avea deci o relaţie similară cu cea de la produsul cartezian :
RELAŢIA CONDIŢIONALĂ IF-THEN-ELSE
O propoziţie condiţională fuzzy mai evoluată decât IF-THEN
este propoziţia condiţională fuzzy IF-THEN-ELSE (DACĂ-
ATUNCI-ALTFEL), care constituie, totuşi, o relaţie condiţională
fuzzy de tipul celor simple
Astfel, propoziţia
C(y)
poate fi pusă sub forma
şi între cele două propoziţii condiţionale fuzzy dintre
parantezele mari intervine operaţia SAU (OR)
Avem de a face în acest caz cu două implicaţii (două produse
carteziene descries de două matrice de aceleaşi dimensiuni)
Între elementele corespunzătoare din cele două matrice are loc
operaţia SAU, care am văzut că înseamnă alegerea
maximumului dintre cele două grade de apartenenţă ale celor
două elemente, ceea ce mai înseamnă că, în final, vom avea o
relaţie de tipul
Ţinând însă seama că, asă cum am arătat
(adică afirmaţia “A SAU NON A” nu epuizează toate posibilităţile) şi
(adică afirmaţia “A ŞI totodată NON A” nu este o contradicţie
totală) înseamnă că, în general, relaţia poate fi pusă şi sub o altă
formă
unde D(x) poate fi o altă submulţime fuzzy decât
Având în vedere că, la rândul său D(x) poate să
corespundă tot unei propoziţii condiţionale fuzzy, lanţul
inferenţial poate fi prelungit, obţinând relaţii fuzzy de tipul
Dacă nu se specifică nimic, atunci, în loc de D(x), vom lua A
C
(x)
Pentru a exemplifica utilizarea, să luăm un exemplu, puţin
mai complex
Fie mulţimile totale
cu elemente xT
1
şi yT
2
Să construim matricea de apreciere a relaţiei
Submulţimea fuzzy aferentă afirmaţiei “e este mic” ar putea fi, de exemplu
Cum nu se specifică nimic despre submulţimea fuzzy D(x),
vom lua D(x)=A
C
(x), care poate fi calculată ca mai jos
Submulţimea fuzzy generată de afirmaţia fuzzy “y este mare”
ar putea fi, de exemplu
Pentru propoziţia fuzzy “y NU este foarte mare”,
care generează submulţimea fuzzy C(y), observăm că
unde E(y) este propoziţia fuzzy “y este foarte mare”; nu
cunoaştem submulţimea E(y) (generată de propoziţia fuzzy “y este
foarte mare”), dar cunoaştem submulţimea fuzzy B(y) (generată
de propoziţia fuzzy “y este mare”)
După cum am arătat însă anterior, trecerea de la o submulţime
fuzzy generaţa de o propoziţie fuzzy de tipul “y este mare”, la o
submulţime fuzzy generată de o propoziţie fuzzy de tipul “y este
foarte mare” corespunde unei concentrări, deci (în lipsa altor
specificări) la ridicarea la puterea a doua.
Atunci, având relaţia de definiţie a submulţimii fuzzy B(y)
(corespunzătoare propoziţiei “y este mare”), putem determina
submulţimea fuzzy E(y) (corespunzătoare propozitiei fuzzy
“y este foarte mare”) :
şi submulţimea fuzzy C(y) (corespunzătoare propoziţiei fuzzy
“y NU este foarte mare”) :
Atunci
=
Să determinăm matricea M
1
de apreciere pentru relaţia
condiţională fuzzy “DACĂ A(x) ATUNCI B(y)” :
0.2 0.4 0.8 1
0.6
0.4
0.2
10 20 30 40 50
1
2
3
4
5
B(y)
A(x)
Figura 18 Produsul cartezian AB
0.8
1
0.6
Să determinăm acum matricea M
2
de apreciere a relaţiei condiţionale
fuzzy “DACĂ A
C
(x) ATUNCI C(y)”
0.96 0.84 0.36 0
0.4
0.6
0.8
10 20 30 40 50
1
2
3
4
5
C(y)
A
C
(x)
Figura 19 Produsul cartezian A
C
C
0.2
0
0.64
După cum am ştim, datorită faptului ca între cele două relaţii condiţionale
fuzzy (ale căror matrice de apreciere sunt M
1
şi M
2
) se face o operaţie logică
SAU, matricea de apreciere M a relaţiei condiţionale fuzzy va cuprinde, în
fiecare poziţie, maximele dintre elementele care ocupă eceeaşi poziţie în cele
două matrice de apreciere M
1
şi M
2
; vom obţine, ca urmare :
